2006. Februári Emelt Szintű Matek Érettségi

A \( \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x \) azonosság felhasználásával a megoldandó egyenlet:

$$ 1 - 2\sin^2 x + 4\sin^2 x - 5\sin x - 4 = 0 $$ $$ 2\sin^2 x - 5\sin x - 3 = 0 $$

A \( \sin x \)-re kapott másodfokú egyenlet megoldásai a megoldóképlet alapján:

$$ \sin x = -\frac{1}{2} \quad \text{és} \quad \sin x = 3 $$

A \( \sin x = 3 \) egyenletnek nincs megoldása, hiszen a \( \sin x \) függvény maximális értéke 1.

A \( \sin x = -\frac{1}{2} \) egyenlet megoldásai:

$$ x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi, \quad \text{ahol } k \in \mathbb{Z} $$

vagy

$$ x = \frac{7\pi}{6} + 2n\pi, \quad \text{ahol } n \in \mathbb{Z} $$

A kapott számok megoldásai az eredeti egyenletnek is.

a) Mivel mind az öt számjegy (5, 2, 9, 4, 1) különböző, az összes lehetséges sorrendek száma a számjegyek permutációinak száma: $$ 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = \mathbf{120} $$ Tehát 120 darab ötjegyű számot kapunk.

b) Egy egész szám 12-vel pontosan akkor osztható, ha osztható 3-mal és 4-gyel is.
Az ötjegyű számok mindegyike osztható 3-mal, mert a számjegyeinek összege (\( 5+2+9+4+1 = 21 \)) mindegyiknél 21, ami osztható 3-mal.
4-gyel ezen ötjegyű számok közül azok és csak azok oszthatóak, amelyekből képzett utolsó két számjegy osztható 4-gyel. A lehetséges végződések: 12, 52, 92, 24.
Mindegyik végződés esetén a maradék 3 számjegyet az első három helyen \( 3! = 6 \)-féleképpen helyezhetjük el.
Így az ötjegyű számok között összesen \( 4 \cdot 6 = \mathbf{24} \) darab 12-vel osztható szám lesz.

c) Ahogy az előbb láttuk, az ötjegyű számok mindegyikében a számjegyek összege 21, így a számok oszthatók 3-mal.
Egy négyzetszám prímhatvány-felbontásában minden kitevő páros. Ha egy négyzetszám osztható 3-mal, akkor 9-cel is oszthatónak kell lennie.
Mivel a számjegyek összege (21) nem osztható 9-cel, a számok 9-cel nem oszthatók. Így egyik szám sem lehet négyzetszám.

Gyűjtsük ki az adatokat egy táblázatba:

Pénzt visszaadja		Pénzt elnyeli
Italt is ad	Italt nem ad	Italt nem ad	Italt ad (Jól működik)
30	90	\( 160 \cdot 0,1875 = 30 \)	\( 160 - 30 - 90 - 30 = 10 \)

a) A 18,75% az 160 esetből \( 160 \cdot 0,1875 = 30 \)-at jelent. Így a rendeltetésszerű működés eseteinek száma: \( 160 - (30 + 90 + 30) = 10 \).
Annak az esélye, hogy jól működik: $$ P = \frac{10}{160} = \frac{1}{16} = \mathbf{0,0625} $$

b) Ingyen iszunk, ha italt is ad, és a pénzt is visszaadja. Ennek esetszáma 30, így valószínűsége \( \frac{30}{160} = 0,1875 \).
Ráfizetünk, ha nem kapunk italt, de a pénzt elnyeli. Ennek esetszáma szintén 30, valószínűsége \( \frac{30}{160} = 0,1875 \).
Tehát a két kérdéses esemény valószínűsége egyenlő.

c) A 160 esetből 120 esetben (\( 90+30 \)) visszakapja a pénzt, 40 esetben elnyeli az automata.
Mivel pontosan 40 esetben ad italt is (30 ingyen + 10 normál), így a kiadott italok értéke megegyezik az automata által ténylegesen elnyelt pénzösszeggel.
A ráfizetés tehát várhatóan 0 Ft, azaz nincs ráfizetés.

a) A csoportokban lévő számok számát megadó sorozat a pozitív egészek sorozata: 1, 2, 3, 4, ..., n.
A 99-edik csoport végéig beírt számok darabszáma (ami megegyezik az utolsó leírt számmal): $$ 1 + 2 + 3 + \dots + 99 = \frac{(1 + 99) \cdot 99}{2} = 4950 $$ Tehát a 100-adik csoport első eleme az ezután következő szám, azaz a 4951.

b) Ha az 1851 az \((n + 1)\)-edik csoportban van, akkor az első \( n \) csoport összes elemének száma kisebb 1851-nél, de az \((n+1)\) csoport elemeinek száma már nagyobb vagy egyenlő vele: $$ \frac{n(n + 1)}{2} < 1851 \le \frac{(n + 1)(n + 2)}{2} $$ Az első egyenlőtlenséget megoldva: $$ n^2 + n < 3702 \implies n^2 + n - 3702 < 0 $$ Mivel \( \sqrt{3702} \approx 60,8 \), vizsgáljuk meg az \( n = 60 \) esetet: $$ \frac{60 \cdot 61}{2} = 1830 $$ Mivel \( 1830 < 1851 \), és a következő halmaz \( 61 \) elemet tartalmaz (így az utolsó eleme \( 1830 + 61 = 1891 \)), az 1851 a 61-edik csoportban van.
A 61-edik csoport első eleme \( 1831 \). Hogy megtudjuk, hányadik elem az 1851, kivonjuk az előző csoportok utolsó elemét a számunkból: $$ 1851 - 1830 = 21 $$ Tehát az 1851 a 61-edik csoport 21-edik eleme.

Jelöljük a \( CDK \) háromszög \( CD \) oldalához tartozó magasságát \( m \)-mel. Ekkor az \( ABK \) háromszög \( AB \) oldalához tartozó magassága \( 2m \).

A trapézban az \( ABD \) és az \( ABC \) háromszögek területe megegyezik (\( T_{ABD} = T_{ABC} \)), mert az \( AB \) alapjuk közös, és az ehhez tartozó magasságuk egyenlő a trapéz magasságával (\( 3m \)).
Az \( ABC \) és az \( ABD \) háromszöglapoknak közös része az \( ABK \) háromszöglap, így a maradék részek területe is egyenlő: $$ T_{ADK} = T_{BKC} = T $$

A \( CDK \) háromszög hasonló az \( ABK \) háromszöghöz (mivel szögeik páronként egyenlők a párhuzamos szelők tétele miatt), és a hasonlóság aránya a magasságok arányából adódóan: $$ \frac{m}{2m} = \frac{1}{2} $$ Mivel a hasonló síkidomok területének aránya a hasonlóság arányának négyzetével egyezik meg, ezért \( T_{CDK} : T_{ABK} = 1 : 4 \).

A \( CDK \) háromszög területét \( t \)-vel jelölve az \( ACD \) háromszög területe: $$ T_{ACD} = T_{CDK} + T_{ADK} = t + T $$ Az \( ABC \) háromszög területe: $$ T_{ABC} = T_{ABK} + T_{BKC} = 4t + T $$ Mivel az \( ABC \) és az \( ACD \) háromszög magassága megegyezik a trapéz magasságával, alapjaik aránya pedig megegyezik a \( K \) pont körüli hasonlóság arányával (\( AB = 2 \cdot CD \)), ezért \( T_{ABC} = 2 \cdot T_{ACD} \). Így felírhatjuk: $$ 4t + T = 2(t + T) \implies 4t + T = 2t + 2T \implies 2t = T \implies t = \frac{T}{2} $$

Ezek alapján a részháromszögek területei \( T \) függvényében: $$ T_{CDK} = 0,5T \quad \text{és} \quad T_{ABK} = 4 \cdot 0,5T = 2T $$ A teljes \( ABCD \) trapéz területe a négy részháromszög területének összege: $$ T_{ABCD} = T_{ABK} + T_{CDK} + T_{ADK} + T_{BKC} = 2T + 0,5T + T + T = \mathbf{4,5T} $$ Tehát az \( ABCD \) trapéz területe 4,5-szerese a \( T \)-nek.

a) A tyúkok számát 4%-kal csökkentve: $$ 10 000 \cdot 0,96 = 9 600 \text{ tyúk} $$ Az eredeti 1 tojóra jutó átlagos tojástermelés: $$ \frac{2,20 \cdot 10^6}{10 000} = 220 \text{ tojás/tyúk} $$ Ezt 8%-kal növelve: $$ 220 \cdot 1,08 = 237,6 \text{ tojás/tyúk} $$ Tehát az évi termelés az új körülmények között: $$ 9 600 \cdot 237,6 = \mathbf{2 280 960 \text{ darab tojás}} $$ (ami kb. 2,28 millió darab).

b) A keresett százalékot \( p \)-vel jelölve (\( p < 30 \)), a tyúkok számának p %-os csökkenését az \( (1 - \frac{p}{100}) \) szorzó írja le. Az egy tyúkra jutó termelés \( 2p \) %-os növekedését az \( (1 + \frac{2p}{100}) \) szorzó írja le.
A teljes termelés az egyedszám és az egyedenkénti hozam szorzata. A feladat szerint a teljes termelés 8%-kal nő, azaz az eredetinek 1,08-szorosa lesz: $$ 10 000 \left(1 - \frac{p}{100}\right) \cdot \frac{2,20 \cdot 10^6}{10 000} \left(1 + \frac{2p}{100}\right) = 2,20 \cdot 10^6 \cdot 1,08 $$ A konstans \( 2,20 \cdot 10^6 \) értékkel leosztva a tiszta százalékos szorzókra kapunk egyenletet: $$ \left(1 - \frac{p}{100}\right) \left(1 + \frac{2p}{100}\right) = 1,08 $$ Az egyenlet mindkét oldalát 10 000-rel szorozva (azaz a zárójeleket 100-zal): $$ (100 - p)(100 + 2p) = 10 800 $$ Bontsuk fel a zárójeleket: $$ 10 000 + 200p - 100p - 2p^2 = 10 800 $$ Rendezve az egyenletet másodfokú alakra: $$ 2p^2 - 100p + 800 = 0 $$ Egyszerűsítve 2-vel: $$ p^2 - 50p + 400 = 0 $$ Ennek az egyenletnek a gyökei \( p_1 = 40 \) és \( p_2 = 10 \).
Mivel a feltétel szerint \( p < 30 \), így csak a \( \mathbf{10} \) lehet a megoldás.
Tehát 10%-kal kellett csökkenteni a tyúkok számát.

a) Kétféle dominókő létezik: ahol a két térfélen azonos számú pötty van (duplák), és ahol különböző. A 0, 1, 2, ..., 7 számok közül:
Nyolc olyan dominó van, amelynek mind a két térfelén ugyanannyi a pöttyök száma.
Az olyan dominók száma, amelyeknek a két térfelén különböző számú pötty áll, annyi van, ahányféleképpen kiválasztható két különböző szám a 8 lehetséges értékből. Ez kombinációval adható meg: \( \binom{8}{2} = 28 \).
Tehát összesen \( 8 + 28 = \mathbf{36} \) kőből áll a dominókészlet.

b) Azok a dominók, amelyeken a pöttyök összege 8, a következők lehetnek: (1; 7), (2; 6), (3; 5) és (4; 4).
Tehát 4 kedvező eset van a 36-ból. A keresett valószínűség: $$ p = \frac{4}{36} = \mathbf{\frac{1}{9}} $$

c) A legelegánsabb megoldáshoz használjuk a kombinatorikát a kedvező és összes esetszám meghatározására.
Az összes lehetséges esetek száma (36 kőből 2 húzása): $$ \binom{36}{2} = \frac{36 \cdot 35}{2} = 630 $$ Kedvező esetek: Két kő illeszthető, ha van rajtuk közös szám. Számoljuk össze, hányféleképpen húzhatunk két olyan követ, amelyek egy adott \( x \) számban (pl. 0, vagy 1, stb.) megegyeznek.
Minden egyes értékhez pontosan 8 olyan dominó tartozik, amely tartalmazza azt a számot. (Például a 0-hoz tartozik: (0;0), (0;1), ..., (0;7)).
Bármelyik ilyen 8 dominó közül ha 2-t kiválasztunk, azok összeilleszthetők annál a számnál. Mivel a feladat szerinti "összeilleszthetőség" feltétele, hogy legalább egy közös értékük legyen, és két különböző dominó legfeljebb egyetlen számban egyezhet meg (hiszen nincs két egyforma kő), ezen halmazok metszete üres a kő-párok szintjén.
Tehát az egy-egy szám körüli illeszthető kő-párok száma: $$ \binom{8}{2} = 28 $$ Mivel összesen 8 különböző számjegy van (0-tól 7-ig), a kedvező esetek száma: $$ 8 \cdot \binom{8}{2} = 8 \cdot 28 = 224 $$ A keresett valószínűség: $$ P = \frac{224}{630} = \frac{112}{315} = \mathbf{\frac{16}{45}} \approx 0,356 $$

a) Az eredeti \( ABC \) szabályos háromszög magassága 1,5 dm. Mivel \( m = \frac{a \sqrt{3}}{2} = 1,5 \), a háromszög oldalhossza \( a = \sqrt{3} \) dm.
Minden oldallal párhuzamost húzunk \( x \) távolságra befelé. Az újonnan kapott \( A_1 B_1 C_1 \) háromszög is szabályos. Ha a nagy háromszög sarkainál megvizsgáljuk az elhagyott részeket, észrevesszük, hogy a szögfelezők mentén csökken a beírt körhöz hasonló módon a méret.
A levágott rész oldalhosszra gyakorolt hatását a csúcsnál lévő \( 30^\circ \)-os derékszögű háromszögből számíthatjuk. Az oldal rövidülése mindkét végén \( x \cdot \cot 30^\circ = x\sqrt{3} \). Így az új háromszög oldalhossza \( b \)-vel jelölve: $$ b = \sqrt{3} - 2x\sqrt{3} = \sqrt{3}(1 - 2x) $$ Az \( A_1 B_1 C_1 \) háromszög területe az oldal ismeretében felírható: $$ T_{A_1 B_1 C_1} = \frac{b^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{\left( \sqrt{3}(1 - 2x) \right)^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = \mathbf{\frac{3\sqrt{3}(1 - 2x)^2}{4}} $$

b) A hasáb alaplapja az \( A_1 B_1 C_1 \) háromszög, magassága a felhajtott \( x \). Így a hasáb térfogata \( V(x) = T_{A_1 B_1 C_1} \cdot x \): $$ V(x) = \frac{3\sqrt{3}(1 - 2x)^2}{4} \cdot x = \frac{3\sqrt{3}}{4} \left( 1 - 4x + 4x^2 \right) x = \frac{3\sqrt{3}}{4} \left( x - 4x^2 + 4x^3 \right) $$ Mivel \( x < 0,5 \), az értelmezési tartomány \( 0 < x < \frac{1}{2} \).
A maximum megkereséséhez deriváljuk a térfogatfüggvényt: $$ V'(x) = \frac{3\sqrt{3}}{4} \left( 1 - 8x + 12x^2 \right) $$ A lokális szélsőérték ott lehet, ahol a derivált nulla: $$ 12x^2 - 8x + 1 = 0 $$ Ennek a másodfokú egyenletnek a gyökei: \( x_1 = \frac{1}{2} \) és \( x_2 = \frac{1}{6} \).
Mivel az értelmezési tartomány az \( ]0; 0,5[ \) intervallum, így az \( x = \frac{1}{2} \) nem lehet megoldás.
A derivált függvény előjelváltásából (vagy a második deriváltból) egyértelmű, hogy \( x = \frac{1}{6} \) lokális és abszolút maximumot ad a vizsgált tartományon.
A térfogat tehát akkor maximális, ha \( \mathbf{x = \frac{1}{6}} \) dm.

a) A logaritmus azonosságainak felhasználásával a \( B \) pont koordinátái felírhatók összegként, illetve különbségként:
\( \lg ab = \lg a + \lg b \) és \( \lg \frac{b}{a} = \lg b - \lg a \).
Így \( B(\lg a + \lg b; \lg b - \lg a) \).
Bizonyítandó tehát, hogy: $$ \lg a + \lg b > \lg a \quad \text{és} \quad \lg b - \lg a > \lg b $$ Rendezés után kapjuk, hogy \( \lg b > 0 \) és \( -\lg a > 0 \implies \lg a < 0 \).
A feltételek szerint \( 0 < a < 1 \), illetve \( 1 < b \), és a tízes alapú logaritmus függvény szigorúan növő a pozitív számok halmazán valamint \( \lg 1 = 0 \), tehát mindkét egyenlőtlenség igaz.

b) Fejezzük ki a különbségvektort: $$ \vec{OA} - \vec{OB} = (\lg a - (\lg a + \lg b); \lg b - (\lg b - \lg a)) = (-\lg b; \lg a) $$ Két vektor merőlegességét a skaláris szorzatukkal bizonyíthatjuk. Ha a szorzat nulla, merőlegesek. $$ \vec{OA} \cdot (\vec{OA} - \vec{OB}) = \lg a \cdot (-\lg b) + \lg b \cdot \lg a = -\lg a \lg b + \lg a \lg b = \mathbf{0} $$ Tehát a két vektor merőleges egymásra.

c) (A rövidebb, elegánsabb megoldás skaláris szorzattal)
Az \( \vec{OA} \) vektor hossza: \( |\vec{OA}| = \sqrt{\lg^2 a + \lg^2 b} \).
Az \( \vec{OB} \) vektor hossza: $$ |\vec{OB}| = \sqrt{(\lg a + \lg b)^2 + (\lg b - \lg a)^2} = \sqrt{2(\lg^2 a + \lg^2 b)} = \sqrt{2} \cdot |\vec{OA}| $$ A két vektor skaláris szorzata közvetlenül is kiszámítható: $$ \vec{OA} \cdot \vec{OB} = \lg a \cdot (\lg a + \lg b) + \lg b \cdot (\lg b - \lg a) = \lg^2 a + \lg a \lg b + \lg^2 b - \lg a \lg b = \lg^2 a + \lg^2 b $$ Másrészt a skaláris szorzat definíciója alapján: $$ \vec{OA} \cdot \vec{OB} = |\vec{OA}| \cdot |\vec{OB}| \cdot \cos \alpha = |\vec{OA}| \cdot (\sqrt{2} \cdot |\vec{OA}|) \cdot \cos \alpha = \sqrt{2} (\lg^2 a + \lg^2 b) \cos \alpha $$ A két egyenletet egyenlővé téve: $$ \lg^2 a + \lg^2 b = \sqrt{2} (\lg^2 a + \lg^2 b) \cos \alpha \implies \cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}} $$ Mivel \( \alpha \) hegyesszög, így a két vektor hajlásszöge 45°.

d) Helyettesítsük be az \( a = \frac{1}{10} \) értéket (\( \lg \frac{1}{10} = -1 \)).
Ekkor az \( A \) pont koordinátái: \( A(-1; \lg b) \).
A logaritmus függvény tulajdonságai miatt, mivel \( b > 1 \), \( \lg b > 0 \) (és bármilyen pozitív értéket felvehet). Ezért az \( A \) pontok halmaza egy nyílt végpontú félegyenes: az \( \mathbf{x = -1} \) egyenletű egyenesnek az \( y > 0 \) feltételt kielégítő része.

A \( B \) pont koordinátái a korábban levezetettek alapján: $$ B(-1 + \lg b; \lg b - (-1)) = (\lg b - 1; \lg b + 1) $$ Mivel a második koordináta (\( \lg b + 1 \)) mindig 2-vel nagyobb az első koordinátánál (\( \lg b - 1 \)), a \( B \) pontok halmaza illeszkedik az \( y = x + 2 \) egyenesre.
Tudjuk, hogy \( \lg b > 0 \), így az \( x \) koordináta \( \lg b - 1 > -1 \).
Tehát a \( B \) pontok halmaza az \( y = x + 2 \) egyenletű egyenesnek azon félegyenes része, amelyre \( x > -1 \).