2005. Októberi Emelt Szintű Matek Érettségi

a) Az oldalfelező merőlegesek metszéspontja a háromszög köré írt kör középpontja. A kör egyenletét teljes négyzetté alakítva: $$ (x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 25 $$ Ebből a középpont, azaz a keresett metszéspont koordinátái: \( O(3; 2) \).

b) Mivel a \( C \) pont illeszkedik az \( y \) tengelyre, koordinátái \( C(0; c) \) alakúak. A pont rajta van a körön is, így behelyettesítve az egyenletbe: $$ (-3)^2 + (c - 2)^2 = 25 \implies 9 + (c - 2)^2 = 25 \implies (c - 2)^2 = 16 $$ Ebből \( c - 2 = 4 \) vagy \( c - 2 = -4 \), tehát \( c_1 = 6 \) és \( c_2 = -2 \). Két lehetséges \( C \) csúcs van: \( C_1(0; 6) \) és \( C_2(0; -2) \).

A súlypont koordinátáit a csúcsok koordinátáinak számtani közepeként kapjuk meg.
Az \( ABC_1 \) háromszög súlypontja: $$ S_1\left( \frac{8 - 1 + 0}{3}; \frac{2 + 5 + 6}{3} \right) = \mathbf{S_1\left( \frac{7}{3}; \frac{13}{3} \right)} $$ Az \( ABC_2 \) háromszög súlypontja: $$ S_2\left( \frac{8 - 1 + 0}{3}; \frac{2 + 5 - 2}{3} \right) = \mathbf{S_2\left( \frac{7}{3}; \frac{5}{3} \right)} $$

a) Az 5 fiú mindegyike kezet fog a másik néggyel, ami a teljes gráf éleinek száma. A kézfogások száma: $$ \frac{5 \cdot 4}{2} = \mathbf{10} $$

b) Mivel Dani és Ernő együtt érkezett (őket egy "egységként" kezeljük), és a többiek (3 fiú) mind különböző időpontokban, így összesen 4 különböző érkezési időpont van. Ezek lehetséges sorrendjeinek száma egy permutáció: $$ 4! = \mathbf{24} $$

c) Minden mérkőzés során pontosan egy fiú pihen, tehát 5-féleképpen választható ki a pihenő játékos. A pályán lévő 4 játékost kell 2 fős csapatokba osztani. A 4 fiúból 2-t kiválasztani \( \binom{4}{2} = 6 \)-féleképpen lehet. Mivel a két csapat sorrendje nem számít (A és B csapat egymás ellen játszik ugyanaz, mint B csapat az A ellen), ezt el kell osztani 2-vel, így 3 különböző felállás lehetséges egy adott 4-esből.
A lehetséges mérkőzések száma összesen: $$ 5 \cdot 3 = \mathbf{15} $$

a) Az évente félretett összegek egy számtani sorozatot alkotnak, melynek első tagja \( a_1 = 5000 \), differenciája \( d = 1000 \).
1996-tól 2004-ig összesen \( n = 9 \) alkalommal tett pénzt a perselybe a nagypapa. A sorozat első 9 elemének összegét kell kiszámítanunk: $$ S_9 = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n = \frac{2 \cdot 5000 + 8 \cdot 1000}{2} \cdot 9 = \frac{18000}{2} \cdot 9 = 9000 \cdot 9 = \mathbf{81 000 \text{ Ft}} $$

b) A bankszámlán lévő pénz növekedését egy mértani sorozattal (kamatos kamattal) írhatjuk le, melynek kezdőtőkéje \( t_0 = 60000 \) Ft, a kamattényező \( q = 1,04 \). Azt keressük, hány év (\( n \)) múlva éri el a 100 000 Ft-ot: $$ 60000 \cdot 1,04^n \ge 100000 $$ Osztunk 60 000-rel: $$ 1,04^n \ge \frac{10}{6} = \frac{5}{3} $$ Mindkét oldal 10-es alapú logaritmusát véve: $$ n \cdot \lg 1,04 \ge \lg \left(\frac{5}{3}\right) $$ $$ n \ge \frac{\lg(5/3)}{\lg 1,04} \approx 13,024 $$ Mivel a kamatjóváírás csak évente egyszer, év végén történik, a \( n \)-nek egésznek kell lennie. Ezért legalább 14 évet kell várnia Péternek.

a) Teljes négyzetté alakítással a függvény hozzárendelési szabálya felírható: $$ f(x) = |(x - 3)^2 - 4| $$ A grafikon egy "W" alakú görbe a \( [0; 7] \) intervallumon, gyökhelyei (ahol az x tengelyt metszi) \( x = 1 \)-nél és \( x = 5 \)-nél vannak. A lokális maximuma a \( [1; 5] \) szakaszon \( x=3 \)-nál van, értéke 4. A határok helyettesítési értéke: \( f(0) = |0 - 0 + 5| = 5 \), \( f(7) = |49 - 42 + 5| = 12 \). (A vizsgán ezt megfelelően rajzolt grafikonon kellett ábrázolni.)

b) A függvény felveszi a 0-t (minimumérték), és a legnagyobb értékét az intervallum szélén éri el, ami 12. Így az értékkészlet: \( [0; 12] \).

c) A lehetséges megoldások száma a függvény grafikonjának (a lokális és abszolút szélsőértékeinek) az \( y = p \) vízszintes egyenessel vett metszéspontjainak számából olvasható le az adott intervallumon:
- Ha \( p < 0 \), akkor nincs megoldás.
- Ha \( p = 0 \), akkor 2 megoldás van (\( x=1 \) és \( x=5 \)).
- Ha \( 0 < p < 4 \), akkor 4 megoldás van.
- Ha \( p = 4 \), akkor 3 megoldás van.
- Ha \( 4 < p \le 5 \), akkor 2 megoldás van.
- Ha \( 5 < p \le 12 \), akkor 1 megoldás van.
- Ha \( p > 12 \), akkor nincs megoldás.

A logaritmus értelmezési tartománya miatt \( x \) és \( y \) 1-től különböző pozitív számok lehetnek (\( x, y > 0 \), \( x, y \neq 1 \)).

Alakítsuk át az első egyenlet bal oldalát a logaritmus azonosságainak felhasználásával: $$ \log_x(x^2) + \log_x(y^3) + \log_y(x^3) + \log_y(y) = 9 $$ $$ 2 + 3\log_x y + 3\log_y x + 1 = 9 $$ $$ 3(\log_x y + \log_y x) = 6 $$ $$ \log_x y + \log_y x = 2 $$ Tudjuk, hogy \( \log_x y \) és \( \log_y x \) egymás reciprokai, és összegük pontosan 2. Mivel \( A + \frac{1}{A} = 2 \) egyetlen megoldása az \( A = 1 \), így: $$ \log_x y = 1 \implies \mathbf{x = y} $$

Helyettesítsük ezt be a második egyenletbe: $$ \cos(x + x) + \cos(x - x) = 0 $$ $$ \cos(2x) + \cos(0) = 0 $$ $$ \cos(2x) + 1 = 0 \implies \cos(2x) = -1 $$ Ennek megoldása: $$ 2x = \pi + 2k\pi \implies x = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) $$

Vegyük figyelembe az \( x > 0 \) és \( x \neq 1 \) feltételeket. Mivel \( \frac{\pi}{2} \approx 1,57 \), ez és minden ehhez adott \( \pi \) többszörös (ahol \( k \ge 0 \)) megfelel. Így a megoldás: $$ \mathbf{x = y = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad (k \in \mathbb{N})} $$

a) (Az oszlopdiagram felrajzolása egyszerű adatmegjelenítés a megadott táblázat alapján, ezt a lépést itt kihagyjuk.)

b) A jegyek átlagát súlyozott átlaggal számítjuk: $$ \overline{x} = \frac{4 \cdot 5 + 7 \cdot 4 + 9 \cdot 3 + 8 \cdot 2 + 2 \cdot 1}{30} = \frac{20 + 28 + 27 + 16 + 2}{30} = \frac{93}{30} = \mathbf{3,1} $$

c) Legalább 3-ast kapott tanulók száma: \( 4 + 7 + 9 = 20 \).
A keresett valószínűség (kedvező esetek / összes eset): $$ P = \frac{20}{30} = \mathbf{\frac{2}{3}} $$

d) Az összes kiválasztási lehetőség 30 tanuló közül 2-t választani: $$ \text{Összes eset} = \binom{30}{2} = 435 $$ A kiválasztott két tanuló érdemjegyének összege pontosan akkor osztható 3-mal, ha a jegyek párosítása a következő (zárójelben a számítás módja):
- (1; 2): \( 2 \cdot 8 = 16 \) eset
- (1; 5): \( 2 \cdot 4 = 8 \) eset
- (2; 4): \( 8 \cdot 7 = 56 \) eset
- (3; 3): \( \binom{9}{2} = 36 \) eset
- (4; 5): \( 7 \cdot 4 = 28 \) eset
A kedvező esetek száma ezek összege: \( 16 + 8 + 56 + 36 + 28 = 144 \).
A keresett valószínűség: $$ P = \frac{144}{435} = \mathbf{\frac{48}{145} \approx 0,33} $$

a) A kapott alakzat egy csonkakúp. A magassága \( m = 10\sqrt{2} \), az alapkörök sugarai pedig a két trapézalap: \( r = 2\sqrt{12} = 4\sqrt{3} \) és \( R = 3\sqrt{75} = 15\sqrt{3} \).
A csonkakúp térfogatképletébe behelyettesítve: $$ V = \frac{m \cdot \pi}{3} (R^2 + r^2 + R \cdot r) $$ $$ V = \frac{10\sqrt{2} \cdot \pi}{3} \left( (15\sqrt{3})^2 + (4\sqrt{3})^2 + 15\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3} \right) $$ $$ V = \frac{10\sqrt{2} \cdot \pi}{3} (675 + 48 + 180) = \frac{10\sqrt{2} \cdot \pi}{3} \cdot 903 = 3010 \cdot \sqrt{2} \cdot \pi \approx \mathbf{13326,47 \text{ térfogategység}} $$

b) Legyenek az oldalak \( a, b, c, d \) (ahol \( a \) és \( c \) az alapok, \( b \) a derékszögű szár, \( d \) a ferde szár). Mivel érintőtrapéz, a szemközti oldalak összege egyenlő: \( a + c = b + d = 20 \). Ebből a beírt kör átmérője (amely megegyezik a \( b \) szárral): \( b = 2r \).
Mivel a trapéz szárain fekvő szögek összege 180°, és a középpontból (\( O \)) húzott szakaszok felezik a szögeket, az \( AOD \) háromszög derékszögű. Ennek az átfogóhoz tartozó magassága a kör sugara, \( r \).
A feltétel szerint az érintési pont negyedeli a \( d \) szárat, így a két szegmens hossza \( \frac{d}{4} \) és \( \frac{3d}{4} \). A magasságtétel értelmében: $$ r^2 = \frac{d}{4} \cdot \frac{3d}{4} = \frac{3d^2}{16} \implies r = \frac{d\sqrt{3}}{4} $$ Mivel \( b = 2r \), felírható: \( b = \frac{d\sqrt{3}}{2} \).
A \( b + d = 20 \) egyenletbe visszahelyettesítve: $$ \frac{d\sqrt{3}}{2} + d = 20 \implies d \left( \frac{\sqrt{3} + 2}{2} \right) = 20 \implies d = \frac{40}{2 + \sqrt{3}} = 40(2 - \sqrt{3}) \approx \mathbf{10,72} $$ Az egyenes szár: $$ b = 20 - d = 20 - 40(2 - \sqrt{3}) = 20(2\sqrt{3} - 3) \approx \mathbf{9,28} $$ Mivel \( b = \frac{d\sqrt{3}}{2} \), a derékszögű trapézból adódik, hogy az alapok hosszkülönbsége alapján a ferde oldalt lefedő derékszögű háromszög egy szabályos háromszög fele, emiatt \( a = c + \frac{d}{2} \). A két alap összege 20, tehát: $$ 2c + \frac{d}{2} = 20 \implies c = 10 - \frac{d}{4} = 10(\sqrt{3} - 1) \approx \mathbf{7,32} $$ Az alsó alap hossza: $$ a = 20 - c = 10(3 - \sqrt{3}) \approx \mathbf{12,68} $$

a) Jelölje az osztály létszámát \( x \). A részvételi adatok összege a kirándulásokon részt vett összes „főt” adja meg: \( 0,6x + 0,7x + 0,8x = 2,1x \).
Mivel 3 tanuló 3-szor kirándult, a maradék \( (x - 3) \) tanuló pedig 2-szer (nem volt olyan, aki csak egyszer vagy egyszer sem, hiszen a szöveg ezt kiköti), így felírható: $$ 3 \cdot 3 + (x - 3) \cdot 2 = 2,1x $$ $$ 9 + 2x - 6 = 2,1x \implies 3 = 0,1x \implies \mathbf{x = 30} $$ Az osztálynak 30 tanulója van.

b) Ezt az állítást a skatulya-elv alapján igazolhatjuk. Tegyük fel indirekt módon, hogy minden tanuló legfeljebb 2 mérkőzést játszott. Ha mind a 10 tanuló pontosan 2 mérkőzést játszana, az összes lejátszott mérkőzések száma \( \frac{10 \cdot 2}{2} = 10 \) lenne. Mivel a feladat szerint már 11 mérkőzés lement, biztosan kell lennie legalább egy olyan tanulónak, aki már legalább háromszor játszott.

c) A második kiránduláson az osztály 70%-a, azaz \( 30 \cdot 0,7 = 21 \) tanuló vett részt. Így a kosárlabdázó tanulók száma \( 30 - 21 = 9 \).
Jelölje a résztvevő tanulók átlagmagasságát \( h \). A súlyozott átlag segítségével felírható a teljes osztály átlaga: $$ \frac{21 \cdot h + 9 \cdot 182}{30} = 174,3 $$ $$ 21h + 1638 = 5229 \implies 21h = 3591 \implies \mathbf{h = 171 \text{ cm}} $$

Jelölje az eredeti kocka élhosszát \( a \), az egyetlen eltérő méretű kis kocka élhosszát pedig \( b \). A térfogatok összege alapján felírható a következő egyenlet: $$ a^3 = 98 \cdot 1^3 + b^3 \implies a^3 - b^3 = 98 $$ A feltételek alapján \( a \) és \( b \) pozitív egész számok (\( b \ge 1 \)). Emiatt \( a^3 > 98 \), amiből következik, hogy \( a \ge 5 \).

Alakítsuk szorzattá a különbséget: $$ (a - b)(a^2 + ab + b^2) = 98 $$ Vizsgáljuk meg az \( a = 5 \) esetet: $$ 5^3 - b^3 = 98 \implies 125 - b^3 = 98 \implies b^3 = 27 \implies b = 3 $$ Ez a megoldás tökéletesen megfelel a feltételeknek.

Biztosíthatjuk, hogy nincs más megoldás. Próbáljuk ki az \( a = 6 \)-ot: \( 6^3 - 98 = 216 - 98 = 118 \), ami nem köbszám.
Továbbá, ha \( a \ge 7 \), akkor a két szomszédos köbszám közötti különbség: $$ a^3 - (a - 1)^3 = 3a^2 - 3a + 1 $$ Ha \( a = 7 \), akkor a minimális különbség \( 3 \cdot 49 - 21 + 1 = 127 > 98 \). Tehát a 7-nél nagyobb egészek esetén a köbszámok túlságosan "távol" vannak egymástól, nem adhatnak ki 98-as különbséget.

Az eredeti kocka éle tehát \( a = 5 \text{ cm} \). Ennek megfelelően az eredeti kocka térfogata: $$ V = 5^3 = \mathbf{125 \text{ cm}^3} $$