2005. Május Emelt Szintű Matematika Érettségi

1

11 pont

Az $ ABC $ háromszög oldalegyeneseinek egyenlete:
$ AB: y = 0 $
$ BC: x + 10y = 20 $
$ CA: y = \frac{1}{2}x - 4 $

a

Számítsa ki a háromszög csúcspontjainak koordinátáit!

7 pont

b

Számítsa ki a háromszög $ B $ csúcsánál lévő belső szöget!

4 pont

a) A csúcspontokat az egyenesek metszéspontjaiként kapjuk meg az egyenletrendszerek megoldásával.

Az $ y = 0 $ egyenest, vagyis az $ x $ tengelyt az $ x + 10y = 20 $ egyenes a $ B(20; 0) $ pontban,
az $ y = \frac{1}{2}x - 4 $ egyenes az $ A(8; 0) $ pontban metszi.

Az $ x + 10y = 20 $ és az $ y = \frac{1}{2}x - 4 $ egyenletekből álló egyenletrendszer megoldása: $ x = 10 $, $ y = 1 $,
ezért a háromszög harmadik csúcsa $ C(10; 1) $.

b) Legyen a $ C $-ből húzott magasság talppontja az $ AB $ oldalon (az $ x $ tengelyen) $ T $. A $ C $ pont koordinátái alapján $ T(10; 0) $.
A $ CTB $ derékszögű háromszög befogói: $ CT = 1 $ és $ TB = 20 - 10 = 10 $.
Ebben a háromszögben felírható: $ \operatorname{tg} \beta = \frac{1}{10} = 0,1 $.
Így a belső szög: $ \beta \approx 5,71^\circ $.

2

13 pont

a

Döntse el, hogy az alábbi négy állítás közül melyik igaz és melyik hamis!

A: Egy 6 pontot tartalmazó teljes gráfnak 15 éle van.
B: Ha egy teljes gráfnak páros számú éle van, akkor a pontok száma is páros.
C: Ha egy 51 pontú gráfban nincs kör, akkor legfeljebb 50 éle lehet.
D: Nincs olyan 6 pontú gráf, amelyben a fokszámok összege 11.

4 pont

b

Ha valaki sohasem hallott a gráfokról, és mégis kitölti a fenti táblázatot, akkor mekkora valószínűséggel lesz helyes mind a négy válasza?

3 pont

c

Tagadja az alábbi mondatot:
„Nincs olyan szerelem, aki el nem múlik.” (Népdalgyűjtés)

3 pont

d

Fogalmazzon meg egy olyan szöveges feladatot, amelynek a megoldása így számítható ki: $ \binom{17}{2} $.

3 pont

a) Az állítások logikai értékei:

A	B	C	D
igaz	hamis	igaz	igaz

b) Összesen $ 2^4 = 16 $-féle kitöltés lehetséges. Ezek közül csak 1 helyes.
Így a valószínűség: $ \frac{1}{16} = 0,0625 $.

c) A tagadás: „Van olyan szerelem, amelyik (aki) nem múlik el.”

d) Egy lehetséges feladat: „Hány egyenest határoz meg a sík 17 pontja, ha nincs közöttük három egy egyenesre illeszkedő?”
(Bármilyen hasonló, ismétlés nélküli kombinációra utaló feladat elfogadható, pl. „17 fős bajnokságban hány mérkőzést játszanak, ha mindenki játszik mindenkivel?”)

3

13 pont

Egy növekedő számtani sorozat első három tagjának összege 60. Az első tagot 64-gyel növelve, a másik két tagot változatlanul hagyva, egy mértani sorozat első három tagjához jutunk. Mennyi a két sorozat első három tagja?

Ha a számtani sorozat második tagja $ a_2 $ és differenciája $ d $, akkor a tagok felírhatók így: $ a_2 - d $, $ a_2 $, $ a_2 + d $.
Az összeg: $ (a_2 - d) + a_2 + (a_2 + d) = 60 $, ahonnan $ a_2 = 20 $.

A mértani sorozat első három tagja a feladat szerint:
$ 20 - d + 64 = 84 - d $, $ 20 $, és $ 20 + d $.

A mértani sorozat tulajdonsága alapján a középső tag négyzete megegyezik a két szomszédos tag szorzatával:
$$ (84 - d)(20 + d) = 20^2 $$ $$ 1680 + 84d - 20d - d^2 = 400 $$ Rendezve a másodfokú egyenletet: $$ d^2 - 64d - 1280 = 0 $$

A megoldóképlettel kapott gyökök: $ d_1 = -16 $ és $ d_2 = 80 $.
Mivel a számtani sorozat növekedő, ezért $ d > 0 $, így $ d = -16 $ nem megoldás. Marad a $ d = 80 $.

A számtani sorozat első három tagja: -60; 20; 100.
A mértani sorozat első három tagja (az elsőhöz 64-et adva): 4; 20; 100.

4

14 pont

Adott az $ [0; 6] $ intervallumon értelmezett, $ x \mapsto \frac{1}{2}|x - 4| + 3 $ hozzárendelési szabállyal megadott függvény.

a

Ábrázolja a függvényt!

4 pont

b

Állapítsa meg a függvény értékkészletét!

2 pont

c

Forgassuk meg a $ [0; 4] $ intervallumra leszűkített függvény grafikonját az $ x $ tengely körül! Számítsa ki az így keletkezett forgástest felszínét!

8 pont

a) A függvény grafikonja egy "V" alakú törtvonal, amelynek töréspontja az $ (4; 3) $ koordinátánál található. Az intervallum végpontjaiban a felvett értékek: $ x = 0 $-nál $ f(0) = 5 $, $ x = 6 $-nál $ f(6) = 4 $.

b) A legkisebb felvett érték a töréspontban van ($ y = 3 $), a legnagyobb érték pedig a $ 0 $ helyen ($ y = 5 $).
Az értékkészlet: $ [3; 5] $.

c) A $ [0; 4] $ intervallumon a grafikont megforgatva egy csonkakúp keletkezik.
Az alapkörök sugara: $ R = f(0) = 5 $ és $ r = f(4) = 3 $.
A csonkakúp magassága az intervallum hossza: $ m = 4 $.
A csonkakúp alkotójának hossza Pitagorasz-tétellel számolható:
$$ a = \sqrt{m^2 + (R - r)^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} $$ A felszín a két alaplap és a palást területének összege:
$$ A = R^2\pi + r^2\pi + (R + r)a\pi $$ $$ A = 25\pi + 9\pi + (5 + 3) \cdot 2\sqrt{5}\pi = 34\pi + 16\sqrt{5}\pi $$ $$ A = \mathbf{(34 + 16\sqrt{5})\pi \approx 219,2} $$

5

16 pont

Egy város 18 étterme közül 11-ben reggelit, 11-ben vegetáriánus menüt lehet kapni, és 10-ben van felszolgálás. Mind a 18 étterem legalább egy szolgáltatást nyújt az előző három közül. Öt étteremben adnak reggelit, de nincs vegetáriánus menü. Azok közül az éttermek közül, ahol reggelizhetünk, ötben van felszolgálás. Csak egy olyan étterem van, ahol mindhárom szolgáltatás megtalálható.

a

Hány étteremben lehet vegetáriánus menüt kapni, de reggelit nem?

5 pont

b

Hány olyan étterem van, ahol felszolgálnak vegetáriánus menüt?

6 pont

c

A Kiskakas étteremben minden vendég a fizetés után nyereménysorsoláson vehet részt. Két urnát tesznek elé, amelyekben golyócskák rejtik a város egy-egy éttermének nevét. Az A urnában a város összes vendéglőjének neve szerepel, mindegyik pontosan egyszer. A B urnában azoknak az éttermeknek a neve található – mindegyik pontosan egyszer –, amelyekben nincs felszolgálás. A vendég tetszés szerint húzhat egy golyót. Ha a húzott étteremben van reggelizési lehetőség, akkor a vendég egy heti ingyen reggelit nyer, ha nincs, nem nyer. Melyik urnából húzva nagyobb a nyerés valószínűsége?

5 pont

A halmazelméleti összefüggéseket (Venn-diagram) használva állapíthatjuk meg az elemszámokat.

a) Tudjuk, hogy 11 helyen adnak reggelit, és ebből 5 helyen nincs vegetáriánus menü. Tehát a reggelit és vegetáriánus menüt is kínáló éttermek száma: $ 11 - 5 = 6 $.
Mivel összesen 11 helyen van vegetáriánus menü, a vegetáriánus, de reggeli nélküli éttermek száma: $ 11 - 6 = \mathbf{5} $.

b) Jelölje $ y $ a csak vegetáriánus éttermek számát, és $ z $ azokét, ahol van vegetáriánus menü és felszolgálás (de reggeli nem). Így a vegetáriánus, reggeli nélküli éttermek száma: $ y + z = 5 $.
Tudjuk, hogy az összes étterem száma 18. A "reggelit is adók", a "csak vegetáriánusok", a "csak felszolgálósok" és a "vegetáriánus és felszolgálós" részek összegének ki kell adnia a 18-at.
Mivel a "reggeli és felszolgálás" metszet 5, és 1 mindhárommal rendelkezik, a reggelizős helyeken kívüli felszolgálós helyek is $ z $-vel hozhatók összefüggésbe. Az összes vendéglő száma alapján felírható a maradék ismeretlenre:
$ 11 + z + y + (\text{csak felszolgálás}) = 18 $. Rendszerezve a halmazokat adódik, hogy $ y = 2 $ és $ z = 3 $.
A vegetáriánus menüt felszolgáló éttermek száma az a metszet, ahol mindhárom van (1) plusz ahol csak veg. és felszolgálás van ($ z = 3 $). Összesen: $ 1 + 3 = \mathbf{4} $ étteremben.

c) Összesen 18 étterem van, ebből 11-ben lehet reggelizni.
Az A urnából (minden étterem benne van) a nyerés valószínűsége:
$ P(A) = \frac{11}{18} \approx 0,61 $.

A B urnában azok az éttermek vannak, ahol nincs felszolgálás. Ezek száma $ 18 - 10 = 8 $.
Ezek közül hányban van reggeli? A 11 reggeliző helyből 5-ben van felszolgálás, így $ 11 - 5 = 6 $ helyen nincs.
Tehát a 8 golyó közül 6 jelent nyerést. A nyerés valószínűsége a B urnából:
$ P(B) = \frac{6}{8} = 0,75 $.

Mivel $ 0,75 > 0,61 $, a B urnából húzva nagyobb a nyerés valószínűsége.

6

16 pont

Tekintsük a valós számokon értelmezett $ f(x) = (p - 3,5)x^2 + 2(p - 2)x + 6 $ függvényt, ahol $ p $ tetszőleges valós paraméter!

a

Mutassa meg, hogy tetszőleges $ p $ érték mellett az $ x = -2 $ zérushelye a függvénynek!

2 pont

b

Milyen $ p $ értékek esetén lesz a függvény másik zérushelye 1-nél nagyobb?

14 pont

a) Behelyettesítve az $ x = -2 $ értéket a függvénybe: $$ f(-2) = (p - 3,5)(-2)^2 + 2(p - 2)(-2) + 6 $$ $$ = (p - 3,5) \cdot 4 - 4(p - 2) + 6 $$ $$ = 4p - 14 - 4p + 8 + 6 = 0 $$ Mivel az eredmény 0, az $ x = -2 $ valóban minden $ p $-re zérushely.

b) Ha $ p = 3,5 $, akkor az egyenlet lineáris, csak egy zérushelye van ($ x = -2 $), így nincs "másik" zérushely. Ezért $ p \neq 3,5 $.
Viète-formulákat alkalmazva a gyökök szorzatára: $$ x_1 \cdot x_2 = \frac{6}{p - 3,5} $$ Tudjuk, hogy az egyik gyök $ x_1 = -2 $. Ekkor a másik gyök: $$ -2 \cdot x_2 = \frac{6}{p - 3,5} \implies x_2 = \frac{-3}{p - 3,5} $$ A feltétel szerint a másik zérushelynek 1-nél nagyobbnak kell lennie: $$ \frac{-3}{p - 3,5} > 1 $$ Rendezzük az egyenlőtlenséget nullára: $$ \frac{-3}{p - 3,5} - 1 > 0 \implies \frac{-3 - (p - 3,5)}{p - 3,5} > 0 $$ $$ \frac{0,5 - p}{p - 3,5} > 0 $$ Egy tört akkor pozitív, ha a számlálója és nevezője azonos előjelű. Ennek egyszerű vizsgálatából (vagy a gyökök felrajzolásából) adódik a megoldás.
A számláló zérushelye $ p = 0,5 $, a nevezőé $ p = 3,5 $. A kifejezés a két érték között vesz fel pozitív értéket.
Az egyenlőtlenség teljesül, ha $ 0,5 < p < 3,5 $.

7

16 pont

Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! $$ \sqrt{\sin^2 x - 4\sin x + 4} + \sqrt{\sin^2 x + 4\sin x + 4} = \sqrt{\sin^2 x + 7\sin x + 12,25} $$

Vegyük észre, hogy a gyökök alatt teljes négyzetek állnak (a 12,25 pedig a $ 3,5^2 $): $$ \sqrt{(\sin x - 2)^2} + \sqrt{(\sin x + 2)^2} = \sqrt{(\sin x + 3,5)^2} $$

A négyzetgyökvonás elvégzése után abszolútértéket kapunk: $$ |\sin x - 2| + |\sin x + 2| = |\sin x + 3,5| $$

Mivel a valós számok halmazán $ -1 \le \sin x \le 1 $, vizsgáljuk meg az abszolútértékeken belüli kifejezések előjelét:

$ \sin x - 2 < 0 $ minden $ x $-re, ezért $ |\sin x - 2| = -(\sin x - 2) = 2 - \sin x $.
$ \sin x + 2 > 0 $ minden $ x $-re, ezért $ |\sin x + 2| = \sin x + 2 $.
$ \sin x + 3,5 > 0 $ minden $ x $-re, ezért $ |\sin x + 3,5| = \sin x + 3,5 $.

Így az abszolútérték-jelek elhagyásával az egyenlet a következőképpen alakul: $$ 2 - \sin x + \sin x + 2 = \sin x + 3,5 $$ Összevonva a bal oldalt: $$ 4 = \sin x + 3,5 \implies \sin x = 0,5 $$

Ennek a trigonometrikus alap-egyenletnek a megoldásai a valós számok halmazán: $$ \mathbf{x_1 = \frac{\pi}{6} + 2k\pi} \quad \text{vagy} \quad \mathbf{x_2 = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi} \quad \mathbf{(k \in \mathbb{Z})} $$

8

16 pont

Az alábbi táblázat egy ország munkaképes lakosságának foglalkoztatottság szerinti megoszlását mutatja. Az adatok ezer főre kerekítettek.

Ágazatok		2003. év (ezer fő)	2004. év (ezer fő)
Foglalkoztatottak	Mezőgazdaságban dolgozó	1020
	Iparban dolgozó	1870	1926
	Szolgáltatásban dolgozó	5015
Munkanélküli		595
Munkaképes lakosság összesen		8500

2004-ben

az ország munkaképes lakosságának száma 3 ezrelékkel nőtt 2003-hoz képest,
a munkanélküliek aránya a munkaképes lakosságban változatlan maradt,
a szolgáltatásban dolgozók száma a 2003-ban ott dolgozók számának 2%-ával megnőtt.

a

Számítsa ki a táblázat hiányzó adatait (ezer főre kerekítve)!

7 pont

b

Ábrázolja kördiagramon a foglalkoztatottak ágazatok szerinti megoszlását 2003-ban!

5 pont

c

Hány százalékkal változott a mezőgazdaságban dolgozók száma 2004-re a 2003-as állapothoz képest? Nőtt vagy csökkent?

4 pont

a) A szöveges feltételek alapján az értékeket kiszámoljuk:
Munkaképes lakosság száma 2004-ben: $ 8500 \cdot 1,003 = \mathbf{8526} $.
Munkanélküliek száma (az arány azonos): $ 8526 \cdot \frac{595}{8500} = 8526 \cdot 0,07 \approx \mathbf{597} $.
Szolgáltatásban dolgozók: $ 5015 \cdot 1,02 \approx \mathbf{5115} $.
A mezőgazdaságban dolgozók létszáma kivonással adódik az összes létszámból: $ 8526 - 597 - 1926 - 5115 = \mathbf{888} $.

b) A kördiagramhoz a foglalkoztatottak összesített száma 2003-ban: $ 8500 - 595 = 7905 $ (ezer fő).
Ebből számoljuk az ágazatok középponti szögeit:
Mezőgazdaság: $ \frac{1020}{7905} \cdot 360^\circ \approx 46^\circ $ (kb. 13%)
Ipar: $ \frac{1870}{7905} \cdot 360^\circ \approx 85^\circ $ (kb. 24%)
Szolgáltatás: $ \frac{5015}{7905} \cdot 360^\circ \approx 228^\circ $ (kb. 63%)

c) A mezőgazdaságban dolgozók számának aránya 2004 és 2003 között: $ \frac{888}{1020} \approx 0,87 $.
Ez tehát $ 1 - 0,87 = 0,13 $ értékű csökkenést jelent, ami körülbelül 13%-os.

9

16 pont

Az $ ABC $ háromszög oldalai $ AB = 42 $, $ BC = 40 $ és $ CA = 26 $. Írjunk téglalapot a háromszögbe úgy, hogy a téglalap egyik oldala illeszkedjen a háromszög $ AB $ oldalára, másik két csúcsa pedig a háromszög $ CA $, illetve $ BC $ oldalára essen. Tekintsük az így beírható téglalapok közül a legnagyobb területűt! Mekkorák ennek a téglalapnak az oldalai?

Először számítsuk ki a háromszög területét Hérón-képlettel. A félkerület: $ s = \frac{42 + 40 + 26}{2} = 54 $.
$$ T_{ABC} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{54 \cdot 12 \cdot 14 \cdot 28} = \sqrt{254016} = 504 $$

Az $ AB $ oldalhoz tartozó $ m $ magasság kiszámítása:
$$ T_{ABC} = \frac{AB \cdot m}{2} \implies 504 = \frac{42 \cdot m}{2} \implies 21m = 504 \implies m = 24 $$

Legyen a téglalap $ AB $-re illeszkedő, vízszintes oldala $ x $, míg függőleges oldala (magassága) $ y $. A beírt téglalap feletti kis háromszög hasonló a nagy $ ABC $ háromszöghöz. A hasonlóság miatt a megfelelő alapok és magasságok aránya megegyezik:
$$ \frac{x}{42} = \frac{24 - y}{24} $$ Ebből $ y $-t kifejezve: $$ 24x = 42(24 - y) \implies y = 24 - \frac{24}{42}x = 24 - \frac{4}{7}x = \frac{168 - 4x}{7} $$

A téglalap területe $ x $ függvényében ($ 0 < x < 42 $): $$ A(x) = x \cdot y = x \cdot \frac{168 - 4x}{7} = \frac{1}{7}(168x - 4x^2) = \frac{4}{7}(42x - x^2) $$

A kapott függvény egy lefelé nyíló parabola, melynek szélsőértéke (maximuma) a zérushelyek átlagánál, azaz a csúcspontban található.
Mivel a teljes négyzetté alakított forma vagy a gyökök alapján látható (gyökök 0 és 42), a maximum helye:
$$ \mathbf{x = \frac{42}{2} = 21} $$

Visszahelyettesítve a másik oldalhosszba: $$ y = 24 - \frac{4}{7} \cdot 21 = 24 - 12 = \mathbf{12} $$

A maximális területű téglalap oldalai tehát 21 és 12 hosszúak.